完全二叉树

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说到堆排序，就不能不提完全二叉树，这些基本概念在网上到处都是，我摘了个最简单的。。

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

我自己总结认为，正是因为有下面两个特点，

• 只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子结点只能在层次大的两层上出现（存储方式的规则性）；
• 若i>1，tree的双亲为tree[i div 2]（其父子结点值的规律性）；

才使得其进行排序非常方便。

堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树(堆)这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，大的值一定在堆顶。

堆排序步骤如下：

1、我们将数据（49、38、65、97、76、13、27、50）建立一个数组$arr；

2、用数组$arr建立一个小顶堆（主要步骤，会在代码注释里解释，下图是用一个数组建立小顶堆的过程）；

3、将堆的根（最小的元素）与最后一个叶子交换，并将堆长度减一，跳到第二步；

4、重复2-3步，直到堆中只有一个结点，排序完成。

堆排序的PHP实现

//因为是数组,下标从0开始,所以,下标为n根结点的左子结点为2n+1,右子结点为2n+2; 
//初始化值,建立初始堆
$arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50);
$arrSize=count($arr);

//将第一次排序抽出来，因为最后一次排序不需要再交换值了。
buildHeap($arr,$arrSize);

for($i=$arrSize-1;$i>0;$i--){
  swap($arr,$i,0);
  $arrSize--;
  buildHeap($arr,$arrSize);  
}

//用数组建立最小堆
function buildHeap(&$arr,$arrSize){
  //计算出最开始的下标$index,如图,为数字"97"所在位置,比较每一个子树的父结点和子结点,将最小值存入父结点中
  //从$index处对一个树进行循环比较,形成最小堆
  for($index=intval($arrSize/2)-1; $index>=0; $index--){
    //如果有左节点,将其下标存进最小值$min
    if($index*2+1<$arrSize){
      $min=$index*2+1;
      //如果有右子结点,比较左右结点的大小,如果右子结点更小,将其结点的下标记录进最小值$min
      if($index*2+2<$arrSize){
        if($arr[$index*2+2]<$arr[$min]){
          $min=$index*2+2;
        }
      }
      //将子结点中较小的和父结点比较,若子结点较小,与父结点交换位置,同时更新较小
      if($arr[$min]<$arr[$index]){
        swap($arr,$min,$index);
      }  
    }
  }
}

//此函数用来交换下数组$arr中下标为$one和$another的数据
function swap(&$arr,$one,$another){
  $tmp=$arr[$one];
  $arr[$one]=$arr[$another];
  $arr[$another]=$tmp;
}

文章题目：PHP中堆排序的原理和应用-创新互联
URL地址：http://www.jxjierui.cn/article/dcopje.html